G11.html

Construções Impossíveis

Uma exploração de três construções impossíveis em geometria.

[Direções : Execute primeiramente a seção Code Resource. Embora não haja output imediato, essas definições serão usadas posteriormente nessa worksheet.]

0. Código

> restart;

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> scan := 'axes = none, scaling = constrained':

th2 := 'thickness = 2':
th3 := 'thickness = 3':
l2 := 'linestyle = 2':
l3 := 'linestyle = 3':

cb := 'color = COLOR(RGB,.6,.6,.8)':
cr := 'color = COLOR(RGB,.95,.1,.1)':
cg := 'color = COLOR(RGB,.5,.9,.5)':
co := 'color = COLOR(RGB,.9,.5,.0)':

>

1. Construções Possíveis

Existem várias construções possíveis com apenas reta, compasso, e lápis. Aqui está um exemplo simples de uma construção.

Dividindo um Segmento

Desenhe arcos de cada ponto final, onde o raio é maior do que metade do comprimento do segmento. Encontre os pontos de interseção dos arcos, e desenhe uma linha conectando-os. Essa linha divide o segmento.

> AB := [[-3,0],[3,0]]:
L := plot( AB, th3, co, scan):
display( L, scan);

> a1 := plottools[arc]([-3,0], 4, -1.2..1.2):
a2 := plottools[arc]([3,0], 4, 2.2..4):
display( [a1,a2, L], scan);

> AB := [[0,-3],[0,3]]:
L2 := plot( AB, color = red, scan):
display( [a1,a2, L, L2], scan);

2. Construções Impossíveis

Desde a antiguidade existem três construções que nunca foram encontradas :

                   1. Trisessão de um Ângulo

                   2. . Esquadrar um Triângulo

                    3. Duplicar um Cubo

Na matemática a palavra impossível significa algo diferente do que significa em outras áreas de estudo. Por exemplo, alguém pode dizer que é impossível transformar madeira em ouro, e de fato não há maneiras de se fazer isso. No entanto, antes dos anos 40 era impossível transformar hidrogênio em hélio, e agora é o que uma bomba de hidrogênio pode fazer. Nos anos 50 era impossível enviar um homem a lua. Em 1800' era impossível um homem voar, ou atravessar o Atlântico em menos de um dia. A palavra "impossível" nesses contextos significa "não exequível nesse tempo".

No entanto, na matemática, a palavra significa algo diferente "não exequível naquele tempo, ou em qualquer tempo futuro" - uma afirmativa forte. No final de 1800, foi provado que todas as três construções mencionadas acima são impossíveis. Isso foi feito pelos processos de abstraçãodessas construçõese usando álgrbra abstrata para provar essa impossibilidade.

Muitos indivíduos não entenderam esse conceito e continuam a tentar encontrar essas construções. Um autor fez um livro de várias destas tentativas - que são éclaro, condenadas ao fracsso, mas divertidas para ler.

Devido a essas construções serem impossíveis, nós não iremos ser capazes de resolvê-las usando linhas e compassos. No entanto, usando o Maple nós podemos aproximar a um alto grau de precisão as soluções que melhor entenderiam o fracasso dessas questões.

3. Construção Impossível 1 : Trissecar um Ângulo

Trissecar um ângulo qualquer significa dividir em três seções. Isso é impossível usando as regras de construção. Não é possível obter uma aproximação (não importa a precisão). Usando Maple nós podemos usar métodos numéricos para encontrar a trisseção. Então nós veremos abaixo a trisseção, embora nós não estejamos usando apenas linhas e compassos - porque é impossível fazer desta maneira!

> OA := [[0,0],[5,2]]:
OB := [[0,0],[3,8]]:
L := plot( [OA,OB], th3, co, scan):
display( L, scan);

> t1 := evalf(arctan( OA[2,2]/OA[2,1]),15):
t2 := evalf(arctan( OB[2,2]/OB[2,1]),15):
theta := t2-t1; `(radians)`;

> arcbetw := plottools[arc]([0,0], 3, t1..t2):
display( L,arcbetw, scan);

> u1 := t1 + theta/3;
u2 := u1 + theta/3;

la := sqrt( (OA[1,1]-OA[2,1])^2 + (OA[1,2]-OA[2,2])^2);
lb := sqrt( (OB[1,1]-OB[2,1])^2 + (OB[1,2]-OB[2,2])^2);
lc := evalf( (2*la + lb)/3 );
ld := evalf( (la + 2*lb)/3 );
OC := [[0,0],[lc*cos(u1),lc*sin(u1)]];
OD := [[0,0],[ld*cos(u2),ld*sin(u2)]];
L2 := plot( [OC,OD], th2, l3, cb, scan):

> t3 := evalf(arctan( OC[2,2]/OC[2,1]),15);
t4 := evalf(arctan( OD[2,2]/OD[2,1]),15);
arc1 := plottools[arc]([0,0], 3.2, t1..t3):
arc2 := plottools[arc]([0,0], 3.4, t3..t4):
arc3 := plottools[arc]([0,0], 3.2, t4..t2):
arcs := display( {arc1,arc2,arc3}, thickness = 5, cg):

> display( {L,L2,arcbetw,arcs }, scan);

Aqui está outro exemplo com um ângulo diferente.

> OA := [[0,0],[13,4]]:
OB := [[0,0],[1,11]]:

> L := plot( [OA,OB], th3, co, scan):
t1 := evalf(arctan( OA[2,2]/OA[2,1]),15):
t2 := evalf(arctan( OB[2,2]/OB[2,1]),15):
theta := t2-t1:
arcbetw := plottools[arc]([0,0], 3, t1..t2):
u1 := t1 + theta/3:
u2 := u1 + theta/3:
la := sqrt( (OA[1,1]-OA[2,1])^2 + (OA[1,2]-OA[2,2])^2):
lb := sqrt( (OB[1,1]-OB[2,1])^2 + (OB[1,2]-OB[2,2])^2):
lc := evalf( (2*la + lb)/3 ):
ld := evalf( (la + 2*lb)/3 ):
OC := [[0,0],[lc*cos(u1),lc*sin(u1)]]:
OD := [[0,0],[ld*cos(u2),ld*sin(u2)]]:
L2 := plot( [OC,OD], th2, l3, cb, scan):
arc1 := plottools[arc]([0,0], 3.3, t1..u1):
arc2 := plottools[arc]([0,0], 3.5, u1..u2):
arc3 := plottools[arc]([0,0], 3.3, u2..t2):
arcs := display( {arc1,arc2,arc3}, thickness = 5, cg):
display( {L,L2,arcbetw,arcs }, scan);

>

4. Construção Impossível 2 : Esquadrar um Círculo

Esquadrar um círculo sigifica encontrar um quadrado com área igual ao círculo dado. Vamos começar com um quadrado de lado 10.

> s := 5:
sq := [[-s,-s],[s,-s],[s,s],[-s,s],[-s,-s]]:
SQ := plot( sq, th3, cr, scan):
SQ2 := plot( sq, th3, cr, scan, filled = true ):
display( SQ2 );

Aqui está a área do quadrado, 100.

> Area := (2*s)^2;

Agora, nós queremos encontrar um círculo com a mesma área. Nós podemos solucionar a fórmula da área para um círculo, com área igual a 100, para r.

> r :='r': theta := 'theta';
Area = Pi*r^2;
solve(%, r);
r := sqrt(Area/Pi);

Então esse é o raio do círculo desejado. Agora nós precisamos apenas de desenhar o gráfico. Ambas as figuras tem a mesma área, 100.

> CIR := polarplot( r, theta = 0..2*Pi, scan, th3, cb, filled = true):
display( SQ, CIR);

5. Construção Impossível 3 : Dobrar um Cubo

Dobrar um cubo significa encontrar um cubo com exatamente duas vezes o volume. Isso é equivalente a construir a raíz do cubo de dois. Isso é particularmente complicado, já que é uma figura tridimensional.

(Nós chamamos um novo pacote de comandos. Ignore a lista de avisos para novas definições. Nós construimos um cubo, calculamos o lado que nós precisaremos para dobrá-lo, e desenhamos ambos juntos. Embora ele possa não parecer , o cubo maior tem duas vezes o volume menor!)

> with(geom3d):
point(orig,0,0,0):
side_len := 8;
cube( cube_1, orig ,side_len/2*sqrt(3) ):
draw( cube_1 , axes = framed, lightmodel = light1 );

Warning, the name polar has been redefined

> `Volume of the first cube of side 8` =evalf( volume( cube_1 ));

> `The side of the larger cube with twice the volume is :`;
side_2 := evalf( ( 2*volume( cube_1 ))^(1/3) );

> cube( cube_2, orig, side_2 ):

>    draw( [ cube_1,
         cube_2(style=wireframe, color = blue)],
         axes = framed, orientation =[30,82], shading=ZGRAYSCALE );

>